Geometrická progresia (PG)
Čo je to geometrická progresia (PG):
Je to numerická postupnosť, v ktorej je každý výraz, od druhého, výsledkom násobenia predchádzajúceho výrazu konštantou q, denominovanou ako pomer PG.
Príklad geometrickej progresie
Číselná sekvencia (5, 25, 125, 625 ...) je rastúci PG, kde q = 5. To znamená, že každý termín tohto PG, vynásobený jeho pomerom ( q = 5), má za následok nasledujúci výraz.
Vzorec na nájdenie pomeru (q) PG
V rámci Crescent PG (2, 6, 18, 54 ...) existuje konštantná ( q ) konštanta, ktorá zatiaľ nie je známa. Aby sme to zistili, je potrebné zvážiť termíny PG, kde: (2 = a1, 6 = a2, 18 = a3, 54 = a4, ... an), ktoré sa použijú v nasledujúcom vzorci:
q = a 2 / a 1
Teda, aby sa našiel dôvod tohto PG, vzorec bude vyvinutý nasledovne: q = a2 / a3 = 6/2 = 3.
Pomer ( q ) vyššie uvedeného PG je 3.
Pretože pomer PG je konštantný, to znamená, že je spoločný pre všetky výrazy, môžeme jeho vzorec pracovať s rôznymi výrazmi, ale vždy ho delíme jeho predchodcom. Pripomínajúc, že pomer PG môže byť akékoľvek racionálne číslo, okrem nuly (0).
Príklad: q = a 4 / a 3, čo vo vnútri vyššie uvedeného PG vedie k q = 3.
Vzorec na nájdenie všeobecného termínu PG
Existuje základný vzorec na nájdenie akéhokoľvek výrazu v PG. V prípade PG (2, 6, 18, 54, a n ...), napríklad kde n, ktoré možno pomenovať ako piaty alebo n-tý termín, alebo 5, stále nie je známe. Na nájdenie tohto alebo iného výrazu sa používa všeobecný vzorec:
a n = a m ( q ) nm
Praktický príklad - vzorec všeobecného termínu PG
Je známe, že :
a n je akýkoľvek neznámy pojem, ktorý sa má nájsť;
a m je prvý termín PG (alebo ktorýkoľvek iný, ak prvý termín neexistuje);
q je pomer PG;
Preto v PG (2, 6, 18, 54, a n ...), kde sa hľadá piaty termín (a 5 ), bude vzorec vyvinutý nasledujúcim spôsobom:
a n = a m ( q ) nm
pri 5 = 1 (q) 5-1
pri 5 = 2 (3) 4
pri 5 = 2, 81
pri 5 = 162
Z toho vyplýva, že piaty výraz ( a5 ) PG (2, 6, 18, 54, a n ...) je = 162.
Stojí za to pripomenúť, že je dôležité zistiť dôvod, prečo PG nájsť neznámy termín. V prípade vyššie uvedeného PG bol tento pomer už známy ako 3.
Klasifikácia geometrického progresu
Crescent Geometrická progresia
Aby bol PG považovaný za zvýšený, jeho pomer bude vždy kladný a jeho termíny sa budú zvyšovať, to znamená zvyšovať sa v rámci číselnej postupnosti.
Príklad: (1, 4, 16, 64 ...), kde q = 4
Vo vzostupnom PG s kladnými hodnotami, q > 1 as negatívnymi výrazmi 0 < q <1.
Postup geometrického znižovania
Aby bol PG považovaný za klesajúci, jeho pomer bude vždy pozitívny a nenulový a jeho termíny sa znižujú v rámci číselnej postupnosti, to znamená, že sa znižujú.
Príklady: (200, 100, 50 ...), kde q = 1/2
V klesajúcom PG s kladnými hodnotami, 0 < q <1 as negatívnymi výrazmi, q > 1.
Kmitočtová geometrická progresia
Pre PG, ktorý má byť považovaný za oscilujúci, bude jeho pomer vždy záporný ( q <0) a jeho termíny sa striedajú medzi negatívnym a pozitívnym.
Príklad: (-3, 6, -12, 24, ...), kde q = -2
Konštantná geometrická progresia
Aby bol PG považovaný za konštantný alebo stacionárny, jeho pomer bude vždy rovný jednej ( q = 1).
Príklad: (2, 2, 2, 2 ...), kde q = 1.
Rozdiel medzi aritmetickou progresiou a geometrickou progresiou
Podobne ako PG, aj BP je tvorená číselnou sekvenciou. Avšak termíny PA sú výsledkom súčtu každého termínu s pomerom ( r ), zatiaľ čo termíny PG, ako je ilustrované vyššie, sú výsledkom násobenia každého výrazu jeho pomerom ( q ) .
Príklad:
V PA (5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 ...) je pomer ( r ) 2. To znamená, že prvý výraz pridaný k r2 má za následok nasledujúci termín a tak ďalej.
V PG (3, 6, 12, 24, 48, ...) je pomer ( q ) tiež 2. Ale v tomto prípade sa termín vynásobí q 2, čo má za následok nasledujúci termín a tak ďalej.
Pozri tiež význam aritmetickej progresie.
Praktický význam PG: kde ho možno aplikovať?
Geometrická progresia umožňuje analýzu poklesu alebo rastu niečoho. Z praktického hľadiska PG umožňuje analyzovať napríklad teplotné výkyvy, populačný rast, medzi inými typmi previerok prítomných v našom každodennom živote.
